[Q]10^300＜2^1000＜10^302であることを示せ

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[A]

2^10＞10^3

2^1000＞10^300

(2^10)/(10^3)＝1024/1000

1+1/42＜(2^10)/(10^3)＜1+1/41

{(2^10)/(10^3)}^100＜(1+1/41)^100={(1+1/41)^41}^2(1+41)^18<27

{(2^10)/(10^3)}^100＞(1+1/42)^100={(1+1/42)^42}^2(1+1/42)^16＞4・58/42

4＜{(2^1000)/(10^300)＜27

したがって、4・10^300＜2^1000＜27・10^300＜10^302は証明された

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{(2^10)/(10^3)}^100＜(1+1/41)^100={(1+1/41)^41}^2(1+41)^18＜e^3

が使えるならば、もっと正確な近似値が得られるのであるが…

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