[Q]10^300＜2^1000＜10^302であることを示せ

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[A]

2^10＞10^3

2^1000＞10^300

(2^10)/(10^3)＝1024/1000

1+1/42＜(2^10)/(10^3)＜1+1/41

{(2^10)/(10^3)}^100＜(1+1/41)^100={(1+1/41)^41}^2(1+41)^18<27

{(2^10)/(10^3)}^100＞(1+1/42)^100={(1+1/42)^42}^2(1+1/42)^16＞4・58/42

4＜{(2^1000)/(10^300)＜27

したがって、2^1000＜27・10^300＜10^302は証明された

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上の解き方はよいと思うが、以下の解き方は疑問が残るだろう

[A]

2^1000=(1024)^100=(1+24/1000)^100・10^300<(1+25/1000)^100・10^300

=(1+1/40)^100・10^300={(1+1/40)^40}^5/2・10^300

ここで、2<(1+1/n)^n<3より

2^1000<3^5/2・10^300＝243^1/2・10^300<256^1/2・10^300

=2^4・10^300

2^996<10^300より

log10(2)＜300/996＝25/83<0.3013

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2^1000=(1024)^100=(1+24/1000)^100・10^300>(1+20/1000)^100・10^300

=(1+1/50)^100・10^300={(1+1/50)^50}^2・10^300

ここで、2<(1+1/n)^n<3より

2^1000>2^2・10^300

2^998<10^300より

log10(2)>300/998

これでは精度がよくない。

もっとe=2.718281828に近い値として2.5を選んでみると

2^1000>(5/2)^2・10^300=25/4・10^300=100/16・10^300

2^1004>10^302より

log10(2)>302/1004〜0.3008

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