[Q]3^1198＜2^1900＜3^1200であることを示せ

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[A]

2^19＜3^12は既知とする

2^1900＜3^1200

2^19=512・1024=524288

3^12=729・729=531441

(2^19)-(3^12)＝-7153

(2^19)/(3^12)-1＝-7153/3^12

(2^19)/(3^12)＝1-7153/531441＜1-1/100

{(2^19)/(3^12)}^100＜(1-1/100)^100<{(1-1/100)^100}＜1/2

{(2^1900)＜1/2・(3^1200)

したがって、2^1900＞3^1198は証明できていない

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1+1/74＜(3^12)/(2^19)＝1+7153/524288＜1+1/73

{(3^12)/(2^19)}^100＞(1+1/74)^100＝{(1+1/74)^74}{(1+1/743)^26}＞2・769/743

{(3^12)/(2^19)}^100＜(1+1/73)^100＝{(1+1/73)^73}{(1+1/73)^27}＜9

2＜{(3^12)/(2^19)}^100＜9

2^1900＞1/9・3^1200＝3^1198

証明された

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