[Q]6^500＜2^1300＜6^503であることを示せ

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[A]

256=2^8＞3^5=243

2^13＞6^5

2^1300＞6^500

256・2^5=2^13＞6^5=243・2^5

2^13-6^5＝13・2^5

(2^13)/(6^5)-1＝13・2^5/6^5

(2^13)/(6^5)＝1+13/243＜1+1/10

{(2^13)/(6^5)}^100＜(1+1/10)^100<{(1+1/10)^10}^10＜3^10

{(2^1300)＜3^10・(6^500)

したがって、2^1300＜6^503は証明できていない

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(2^13)/(6^5)＝1+13/243＜1+1/18

1+1/19＜(2^13)/(6^5)＜1+1/18

(1+1/19)^100＜{(2^13)/(6^5)}^100＜(1+1/18)^100

(1+1/19)^100={(1+1/19)^19}^5(1+1/19)^5＞2^5・24/19」

{(1+1/18)^18}^5・(1+1/18)^10＜{(1+1/18)^18}^5・(1+1/18)^10＜3^6

2^5＜{(2^13)/(6^5)}^100＜3^6

2^5・(6^500)＜(2^1300)＜3^6・(6^500)

{(2^1300)＜6^3・(6^500)=6^503に至らない

{(2^1300)＜6^4・(6^500)=6^504にはなっている

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