パスカルの三角形において，奇数を黒，偶数を白に置き換えると，シェルピンスキーの三角形ができあがる．

　パスカルの三角形の各行に奇数はいくつあるだろうか？　行０を除くと，剛１か行８までは，それぞれ２，２，４，２，４，４，８，２と続く．

［１］行１，２，４，８には２個の奇数がある．

［２］行３，５，６には４個の奇数がある．

［３］行７には８個の奇数がある．

　行ｎを２進数表示して１がｐ個ある場合，２^p個の奇数がある・・・というルールになっている．

　ｎの２進数表示はただ１通りであって，たとえば，

　　８３＝１・２^6＋０・２^5＋１・２^4＋０・２^3＋０・２^2＋１・２^1＋１・２^0

［４］行８３には２^4＝１６個の奇数がある．

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　そのフラクタル次元は

　　log3/log2=1.585

である。

また、最初の三角形の辺の長さを1とすると、シェルピンスキー三角形の任意の2点間の平均距離は

　　466/885=0.53

である。（ハノイ・グラフを使ってその答えを見つけることができるとのことであるが、私にはわからなかった）

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杭が３本、円盤がｎ枚あるとき、最短手数は

an+1=2an+1

an+1+1=2an+2=2(an+1)

an+1=2^n,an=2^n-1

点の数は

H1=3

H2=3H1

H3=3H2

H4=3H3

H2=9,H3=27,H4=81,Hn=3^n

パスの数は

H1=3

H2=3H1+3

H3=3H2+3

H4=3H3+3

H2=12,H3=39,H4=120,Hn=・・・

2点間の距離はハミング距離で測るのであろう

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　一般に，数列｛Ｘn−αＸn-1｝が公比βの等比級数になるものと仮定すると，

　　Ｘn+1−αＸn＝β（Ｘn−αＸn-1）

すなわち，

　　Ｘn+1−（α＋β）Ｘn＋αβＸn-1＝０

根と係数の関係から，α，βは

　　ｘ^2−（α＋β）ｘ＋αβ＝０

の根でなけれならないのですが，このことから，この数列は２つの等比級数の１次結合

　　Ｘn＝ｃα^n＋ｄβ^n

として表されます．

α=(3+√21)/2,β=(3-√21)/2

3=c(3+√21)/2+d(3-√21)/2

12=c(15+3√21)/2+d(15-3√21)/2

c(3+√21)+d(3-√21) =6

c(15+3√21)+d(15-3√21)=24

Δ=(3+√21)(15-3√21)-(3-√21)(15+3√21)=6√21-(-6√21)=12√21

6(15-3√21)-24(3-√21) =18+6√21

24(3+√21)-6(15+3√21)=-18+6√21

c=(18+6√21)/12√21=(3+√21)/2/√21

d=-(18-6√21)/12√21=-(3-√21)/2/√21

Xn=(α^n+1-β^n+1)/√21

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シェルピンスキー三角形の任意の2点間の平均距離は直観的には

2/α〜(√21-3)/3=0.528

になる

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