コンピュータのメモリでは１キロは1024を意味し1000ではないなど、2^10=1024〜10^3=1000は日常的にも定着している規格になっている。

1メガは2^30〜10^6

1ギガは2^90〜10^9

2^1000〜10^300となるが

その際、2^1000〜10^301がいえれば、log10(2)〜0.3010が確定する。

1024=2^10＞10^3=1000

したがって、

2^1000＞10^300

受験問題は限られた時間内に解かなければならないという受験生にとっては災難事であるが．驚いたことに

[Q]10^300＜2^1000＜10^302であることを示せ

は試験問題として適切なものであるという。

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[A]

2^1000=(1024)^100=(1+24/1000)^100・10^300<(1+25/1000)^100・10^300

=(1+1/40)^100・10^300={(1+1/40)^40}^5/2・10^300

ここで、2<(1+1/n)^n<3より

2^1000<3^5/2・10^300＝243^1/2・10^300<256^1/2・10^300

=2^4・10^300

2^996<10^300より

log10(2)＜300/996＝25/83<0.3013

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2^1000=(1024)^100=(1+24/1000)^100・10^300>(1+20/1000)^100・10^300

=(1+1/50)^100・10^300={(1+1/50)^50}^2・10^300

ここで、2<(1+1/n)^n<3より

2^1000>2^2・10^300

2^998<10^300より

log10(2)>300/998

これでは精度がよくない。

もっとe=2.718281828に近い値として2.5を選んでみると

2^1000>(5/2)^2・10^300=25/4・10^300=100/16・10^300

2^1004>10^302より

log10(2)>302/1004〜0.3008

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[0.3008＜log10(2)＜0.3013]

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