【１】最大接吻数の下界

　格子状配置による最大接吻数の評価は，最終的にはグラフ的算法に帰着されるのですが，

　　ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９

　接吻数　２　　６　　12　　24　　40　　72　　126　 240　 272

　格子　　Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ｄ4 Ｄ5 Ｅ6 Ｅ7 Ｅ8

１≦ｎ≦８では，ガウス記号を用いて

　　下界＝ｎ（［２^(n-2)／３］＋ｎ＋１）

の形にまとめられます．

　この式はｎ＞８に対しては成り立ちません．たとえば１〜８次元では最大接吻数は格子上で起きる（たとえば，５，６，７次元ではそれぞれ４０，７２，１２６）のですが，９次元では格子上での最大接吻数が２７２であるのに対して，不規則配置では３０６個の球が接触できるものが知られているのですから，９次元以上になるとルート格子だけでは済まなくなるのです．

　また，ｎ＝９のとき

　　ｎ（［２^(n-2)／３］＋ｎ＋１）＝４６８となるのですが，コクセター・リーチの上界４０１よりも大きくなってしまうからです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】最大接吻数の上界

　リーチは最大接吻数の上界を

　　ｎ　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　10　　11　　12

　上界　　26　　48　　85　 146 244 401 648 1035 1637

と計算しています．τ8＝２４０は証明されていますから，この上界は正確な値に近い線をいっています．

　最大接吻数の上界は，大きなｎに対して漸近的に

　　（√π）／ｅ・ｎ^3/2・２^(n-1)/2

で与えられることが知られています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝