【１】極大格子

　単独で空間を充填する平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）である．

　それに対して，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密正則胞体充填構造は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られている．

　正２４胞体の頂点は正８胞体と正１６胞体の頂点をなすことより，正２４胞体は３次元の菱形１２面体Ａ3に対応するものであって，（３，４，３，３）は４次元版の菱形１２面体による空間充填形に相当する．すなわち，それは４次元の面心立方格子といってよいものであって，４次元の最密正則胞体充填構造Ｄ4は正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られているというわけである．

　なお，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されるのだが，２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られている．２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているらしく，この点もまた注目すべきものである．

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　そこで「単位格子群の２つの格子点の間の最小距離ｄminを最大にする格子群（極大格子群）を求めよ」というミニマックス問題が設定される．すなわち，正多角形，正多面体に限らない最密規則的充填構造は何かという問題である．→コラム「極大格子群とルート系」参照

　２次元では，与えられた最小距離をもつすべての格子中で，格子点密度のもっとも高いものは，正三角形格子（Ａ2）ということになる．

　３次元では，すべての辺の長さが等しい平行六面体格子（菱形体格子）をつくってみると，辺が互いの６０°の角度をなすようにしたとき，平行六面体の体積は最小値となる．これが面心立方格子状配置であって，その対称性はＣ3（立方体）ではなく，Ａ3で与えられる．

　もっとも稠密な格子状球配置を求める問題はより高次元の空間においても考えることができるが，高次元空間においては，平面における正三角形格子や３次元空間における面心立方格子はもはや最密球配置を与えてはくれない．すなわち，４次元，５次元においては面心立方格子の類似品Ｄ4，Ｄ5となるのであるが，６次元についてはそのようなことも成立しなくなり，Ｅ6となる．

　これは次元の上昇とともに，超球の間の隙間が大きくなっていくからであるが，８次元になると面心立方格子に十分な隙間ができるので，１１２個の面心立方格子状配置の接触点

　　1/√2（０，・・・，±１，０，・・・，±１，０・・・）　　　（±１の個数は２つ）

と１２８個の隙間の点

　　1/√8（±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１）　　　（＋の個数は偶数）

に同じ大きさの球が詰め込み可能になる．

　この詰め込みの断面が６次元と７次元のもっとも効率のいい格子状詰め込みＥ6，Ｅ7を与えてくれるというわけである．

　こうして，極大格子については，現在のところ，ｎ≦８のみ答えが知られている．

ｎ　　　ルート　　　格子点間距離　　　　　　　　　　　球充填密度

１　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　１

２　　　Ａ2　　　　4√（４／３） 　＝１．０７５　　　　０．９０６

３　　　Ａ3　　　　6√２　　　　 　＝１．１２２　　　　０．７４０

４　　　Ｄ4　　　　8√４　　　　 　＝１．１８９　　　　０．６１９

５　　　Ｄ5　　　　10√８　　　　　＝１．２３１　　　　０．４６５

６　　　Ｅ6　　　　12√（６４／３）＝１．２９０　　　　０．３７３

７　　　Ｅ7　　　　14√６４　　　　＝１．３４６　　　　０．２９５

８　　　Ｅ8　　　　√２　　　　　　＝１．４１４　　　　０．２５４

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　上の表で，球充填密度は

　　ｖn（ｒ／２）^n

として求めたものである．ｖnはｎ次元単位超球の体積で，

　　ｖ1＝１，ｖ2＝π，ｖn／ｖn-2＝２π／ｎ　（ｎ≧３）

すなわち，

　　ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

によって与えられる．

　　ｎ　　　 ｖn　　　　　　　　ｎ　　　 ｖn

　　１　　　2　　　　　　　　　 ６　　　5.167

　　２　　　3.14　　　　　　　　７　　　4.72　

　　３　　　4.19　　　　　　　　８　　　4.06　

　　４　　　4.93　　　　　　　　９　　　3.30　

　　５　　　5.263　　　　　　　 10　　　2.55　

　なお，一般に，ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τn は接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造「同じ半径の球をできるだけ稠密詰めるにはどうしたらよいか」という空間の球による充填問題と深い関連がある．

　８次元の球の最大接触数τ8については，τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されるのだが，τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，４次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ4＝24、τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０の6つだけである．

　つまり，８次元と２４次元は，接吻数が計算できる特殊な次元なのであり，都合のいい格子（８次元の場合，格子にはＥ8，２４次元の場合，リーチ格子という名前が付いている）がひとつに決まるので，格子上に球を配置することによって，すぐに接吻数を数えることができる．したがって，２４次元における効率的な詰め込みについての同様の結果はすでに求められていると思われるのだが，その結果を私は知らない・・・．

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