【４】ウォルステンホルムの定理

　さらに，類似の問題としては，ウォルステンホルムの定理

　「ｐが２，３以外の素数ならば有限調和級数（既約分数）

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）

の分子はｐ^2で割り切れる．」

があげられます．たとえば，ｐ＝５のとき，この分数は２５／１２となり，その分子はｐ^2で割り切れます．

（Ｑ）ｐ＞３が素数ならば，既約分数

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）

の分子はｐ^2で割り切れることを証明せよ（ウォルステンホルムの定理，１８６２年）．

（Ａ）素数ｐによる整除性ではなく，素数の平方ｐ^2による整除性なのでかなり難しい問題である．そこで，素数による整除性の問題に帰着させてより解きやすいものにしたい．そこでまず

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

を証明するしよう．

　　１＋１／２＋１／３＋１／４＝１＋３＋２＋４＝０　　（ｍｏｄ　５）

であるが，

　　４＝−１，３＝−２　　（ｍｏｄ　５）

を使えば，

　　１＋１／２＋１／３＋１／４＝１−２＋２−１＝０　　（ｍｏｄ　５）

同様に，

　　ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・　　（ｍｏｄ　ｐ）

であるから

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

を証明することができる．

　次に，１／１と１／（ｐ−１），１／２と１／（ｐ−２），・・・をペアに組ませると

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

　＝１＋１／（ｐ−１）＋１／２＋１／（ｐ−１）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋１／（（ｐ＋１）／２）

　＝ｐ（１／（ｐ−１）＋１／２（ｐ−２）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋（ｐ＋１）／２）　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

　したがって，

　１／（ｐ−１）＋１／２（ｐ−２）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋（ｐ＋１）／２＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・　　（ｍｏｄ　ｐ）

であるから，

　１／１^2＋／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つことをを示しさえすればよい．

　１／１^2＋／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2＝１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｐ−１）^2＝（ｐ−１）ｐ（２ｐ−１）／６＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

となって証明了．

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【５】雑感

　タイシンガーの問題はベルトランの仮説を使っても示すことができるのですが，ウォルステンホルムの定理を使って示すことはできないものでしょうか？

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