Ｇ（ｋ）＝Ｎは，すべての十分大きな正の整数がＮ個の非負のｋ乗ベキの和であるという性質を満たす最小の整数Ｎを表す．

［１］Ｇ（２）＝４

　４^k（８ｎ＋７）である数は３平方和で表せない．

　ｎ＝７　（ｍｏｄ８）ならば３平方和で表せない．

［２］Ｇ（３）？

　Ｇ（２）≧４はｎ＝±４　（ｍｏｄ９）ならば３立方和で表せないことから示すことができる．Ｇ（３）＝４であると予想されている．

ある整数を３乗した数（立方数）を三つ，足したり引いたりしてNを作る問題には，4,5,13,14,22,23のように，９で割って余りが４か５になる数には答え

がないこともわかっている．

x=0,1,2,3,4,5,6,7,8(mod9)に対して

x^3=0,1,-1,0,1,-1,0,1,-1

x^3+y3+z^3=0,1,2,3,-1,-2,-3

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［３］Ｇ（４）＝１６

　ｎ＝１５　（ｍｏｄ１６）ならば１４個の４乗数の和で表せないことから，Ｇ（４）≧１５．

　さらに任意の整数ｍに対してｎ＝１６^m・３１は１５個の４乗数の和で表せ

ないことから，Ｇ（４）≧１６．Ｇ（４）＝１６であることがダベンポートにより証明されている．

mod8で見ると

a^2=0,1,4,1,0,1,0,1,・・・

a^4=0,1,0,1,・・・

a^4+b^4=0,1,2

a^4+b^4+c^4=0,1,2,3

a^4+b^4+c^4+d^4=0,1,2,3,4

mod16で見ると

a^2=0,1,4,9,0,9,4,1,・・・

a^4=0,1,0,1,0,1,・・・

a^4+b^4=0,1,2

a^4+b^4+c^4=0,1,2,3

a^4+b^4+c^4+d^4=0,1,2,3,4

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［４］　Ｇ（ｋ）≦ｋ（３ｌｏｇｋ＋１１）

であることがヴィノグラードフにより証明されている（円周法）．

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