f=ax^2+2bxy+cy^2

x→mx+ny

y→m’x+n’y

g=Ax^2+2Bxy+Cy^2

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B^2-AC=(mn'-m'n)^2(b^2-ac)

判別式(b^2-ac)は１次変換の行列式の平方による乗数を除いて不変である

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a(mX+nY)^2+2b(mX+nY)(m'X+n'Y)+c(m'X+n'Y)^2

=(am^2+2bmm'+cm'^2)X^2+(an^2+2bnn'+cn'^2)Y^2

+(2amn+2b(mn'+m'n)+2cm'n')XY

(2amn+2b(mn'+m'n)+2cm'n')=0

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f=ax^2+2bxy+cy^2=λは楕円を表す。座標変換によって

(1,0),(0,1)が(m1,m2),(n1,n2)であらわされたとすると

m1^2+m2^2=a,n1^2+n2^2=b

(m1,m2),(n1,n2)のなす角は

cosφ=b/√ac

fの判別式は基本平行四辺形の面積の平方

f(x0,y0)は原点から対応する格子点までの距離の平方である。

与えられた数Nをfで表すことができる(x,y)が存在するという問題は原点を中心とする半径√Nの円が格子点を通過するという問題に変換される。

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f(x,y)=2x^2+6xy+5y^2の場合、原点から格子点までの最小距離√M=1である。

格子点を中心とする1辺の長さ√M/√nのn次元超立方体では

(√M/√n)^n＜√D

M＜n(D)^1/nとなるような変数の整数値を常に見出すことができることになる。

超立方体の代わりに外接する半径(√M)/2の超球f=M/4を用いればさらによい上界にたどり着ける

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