ｓｉｎｘの代わりに，ｓｉｎ√ｘを考える．

ｓｉｎ√ｘ/√ｘ=1-x/3!+x^2/5!-x^3/7!+・・・

=(1-x/π^2)(1-x/4π^2)(1-x/9π^2)・・・

零点は

　　ｘ＝０，π^2，４π^2，９π^2，・・・

なので，関数

　　ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ√ｘ／√ｘ

の零点は

　　ｘ＝π^2，４π^2，９π^2，・・・

　また，

　　ｆ（ｘ）＝１−ｘ／６＋ｘ^2／１２０−・・・

　＝（１−ｘ／π^2）（１−ｘ／４π^2）（１−ｘ／９π^2）

ここで，ｘの係数を比較すると

　　ζ（２）＝Σ1/n^2=1+1/4+1/9+1/16+1/25+・・・=π^2/6

となる．

π^2/8=1+1/9+1/25+1/49+・・・

右辺=Σ1/n^2-Σ1/(2n)^2=3/4・Σ1/n^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝