[1]ラマンジャンの発見したフェルマーの定理のニアミス例

an^3+bn^3=cn^3+(-1)^n

{an},{bn},{cn}は以下の母関数によって決定される。

Σanx^n=(1+53x+9x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)

Σbnx^n=(2-26x-12x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)

Σcnx^n=(2+8x-10x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)

これで、ニアミス解が無限に存在することがわかる。それぞれの数列の最初のいくつかは

a0=1,b0=2,c0=2

a1=135,b1=138,c1=172

a2=11161,b2=11468,c2=14258

a3=926271,b3=951690,c3=1183258

a4=76869289,b4=78978818,c4=98196140

a5=6379224759,b5=6554290188,c5=8149096378

以降、私の計算機のスペックでは計算不能となった。

見事ではあるが、どうやって求めたのか誰もが不思議に思われるだろう。やはり、ラマヌジャンは天才だった・・・と一言では片付けたくなっかったので、これらの式に陽に現れていないimplicitな部分を考えてみた。その結果、一般化されたトリボナット数列か隠れていることがわかった。

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Σanx^n=(1+53x+9x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)

Σbnx^n=(2-26x-12x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)

Σcnx^n=(2+8x-10x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)

において、x=1とおくと

a0+a1+a2+・・・=63/162

b0+b1+b2+・・・=-36/162

c0+c1+c2+・・・=0

(63/126)^3+(-36/126)^3=203391/(126)^3=Xとしても

an^3+bn^3=cn^3+(-1)^n

が成り立つのかどうかはわからないであろう。

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