三角形の５心とは内心，傍心，重心，外心，垂心を指しますが，古代ギリシャ人は５心について知っていました．その１５００年後，フェルマー点が発見され，さらに１〜２世紀後に９点円の中心，その次がジェルゴンヌ点，１９世紀にはいるとナーゲル点やブロカール点などが発見されました．

［１］△ＡＢＣの内部に１点Ｐをとり，△ＡＰＢ＝△ＢＰＣ＝△ＣＰＡ＝１／３・△ＡＢＣとなるようにすると，Ｐは重心です．普通に３本の中線を引いて作図できます．

［２］△ＡＢＣの外側に各辺を底辺とする相似な△ＢＣＤ，△ＣＡＥ，△ＡＢＦを作ると３直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは同一点Ｐで交わります（その証明もさして難しくありません）．

［３］フェルマー点は外側の三角形が正三角形のときです．

［４］これが底角３０°（頂角１２０°）の二等辺三角形のときはナポレオン点と呼ばれます．（このナポレオンは有名なボナパルト・ナポレオン一世皇帝自身．彼は数学が得意で学生時代に発見したというのは（再発見であったらしいが）ある程度事実のようです．）

［５］また，相似三角形の形を変えると，点Ｐは△ＡＢＣの重心から垂心を通るある直角双曲線の上を動くことも知られています．

また、３点あるいはそれ以上の点が一直線上にあることを主張する定理は共線定理と呼ばれます．たとえば，三角形の外心と重心と垂心はその順番に一直線上に並んでいて，外心と垂心を結ぶ線分が重心によって１：２に内分されています．この共線はオイラー線と呼ばれています。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

三角形の諸心は91点もあり、それらが103本の線に載っている。無限系列の心もあるので、心や共線は無限個あるというのが正しいらしい。

ここ数年、直観幾何学研究会では三角形の五心の共線・共点問題が多くなってきた印象である。平面に限らず、球面や双曲面における心の存在・非存在、平面における定義を変えれば球面や双曲面でも同様の問題を作ることができる。三角形ではなくて四面体ではどうか、高次元単体ではどうか、等々。

すなわち、石を投げれが三角形の「心」に当たるという状況なのである。それにしても、心の数が多すぎて果てしない・・・。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝